Deskriptive Statistik

Maße der zentralen Tendenz und Streuung

Daniela Palleschi

Humboldt-Universität zu Berlin

Mi. den 06.12.2023

Lernziele

Heute werden wir lernen…

  • über Maße der zentralen Tendenz (Mittelwert, Median, Modus)
  • über Streuungsmaße (Bereich, Standardabweichung)
  • wie man die Funktion summarise() von dplyr benutzt
  • wie man Zusammenfassungen .by Gruppe erstellt

Lektüre

Die erforderliche Lektüre für dieses Thema sind:

  1. Kap. 3, Abschnitte 3.4-3.9 (Descriptive statistics, models, and distributions) in Winter (2019) (online verfügbar für Studierende/Beschäftigte der HU Berlin über das HU Grimm Zentrum.

  2. Abschnitt 4.5 (Groups) in Kap. 4 (Data Transformation) in Wickham et al. (2023).

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  • Starten Sie ein neues Skript immer mit einer leeren R-Umgebung
    • keine Objekte in der Umgebung gespeichert
    • keine Pakete geladen
  • Klicken Sie auf Session > Restart R, um mit einer neuen Umgebung zu beginnen
    • oder das Tastaturkürzel Cmd/Ctrl+Strg+0

Pakete

pacman::p_load(tidyverse,
               here,
               janitor)

Daten laden

  • zwei Datensätze heute:
    • groesse_geburtstag_ws2324.csv: ein leicht veränderter groesse_geburtstag-Datensatz von Winter Semester 2023/2024
    • languageR_english.csv: komprimierte Version des english-Datensatzes aus dem languageR-Paket
  • wenn Sie diese Daten noch nicht haben, laden Sie sie von Moodle herunter
df_groesse <- read_csv(here("daten", "groesse_geburtstag_ws2324.csv"))
df_eng <- read_csv(here("daten", "languageR_english.csv")) |> 
  clean_names() |> 
  # fix some wonky variable names:
  rename(rt_lexdec = r_tlexdec,
         rt_naming = r_tnaming)

Deskriptive Statistik

  • beschreibt quantitativ die zentrale Tendenz, Variabilität und Verteilung von Daten
    • auch zusammenfassende Statistik genannt
  • z.B. Wertebereich (Minimum, Maximum), der Mittelwert und die Standardabweichung

Anzahl der Beobachtungen (\(n\))

  • ist keine Statistik, aber eine wichtige Information
    • mehr Daten (höher \(n\)) = mehr Beweise
    • weniger Daten (niedriger \(n\)) = möglicherweise nicht verallgemeinerbar auf die breitere Population
  • nrow(): liefert die Anzahl der Beobachtungen in einem Datensatz
nrow(df_groesse)
[1] 9
  • length(): die Anzahl der Beobachtungen in einem Vektor oder einer Variablen
length(df_groesse$groesse)
[1] 9

Maße der zentralen Tendenz (Lagemaße)

  • beschreiben quantitativ die Mitte unserer Daten
    • der Mittelwert, der Median und der Modus

Mittelwert (\(\mu\))

  • der Mittelwert oder Durchschnitt: die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte (wie in Gleichung \(\ref{eq-mean}\))

\[\begin{align} \mu &= \frac{Summe\;der\;Werte} {n} \label{eq-mean} \end{align}\]

  • können wir die Ergebnisse einer Gleichung als Objekt speichern
    • oder mehrere Werte als Vektor (eine Liste von Werten der gleichen Klasse)
# save heights as a vector
heights <- c(171, 168, 182, 190, 170, 163, 164, 167, 189)
  • könnten wir dann die Funktionen sum() und length() verwenden, um den Mittelwert zu berechnen
# divide the sum of heights by the n of heights
sum(heights)/length(heights)
[1] 173.7778
  • or simply use the mean() function.
# or use the mean() function
mean(heights)
[1] 173.7778
  • Wir können die Funktion mean() auch auf eine Variable in einem Datenrahmen anwenden, indem wir den Operator $ verwenden (datenrahmen$variable).
mean(df_groesse$groesse)
[1] 173.6667

Median

  • der Wert in der Mitte des Datensatzes
  • Wenn Sie Ihre Daten in der Reihenfolge ihrer Werte anordnen, liegt die Hälfte der Daten unter dem Median, die andere Hälfte darüber.

Median in R

  • können wir die Funktion sort() verwenden und zählen, welches der mittlere Wert ist:
sort(df_groesse$groesse)
[1] 163 164 167 167 170 171 182 189 190
  • alternativ könnte man auch einfach die Funktion median() verwenden
median(df_groesse$groesse)
[1] 170

Modus

  • der Wert, der am häufigsten in einem Datensatz vorkommt
  • keine R-Funktion zur Bestimmung des Modus
    • aber wir können ihn visualisieren, z.B. mit einem Histogramm oder einem Dichteplot
df_groesse |>
  ggplot(aes(x = groesse)) +
  geom_histogram(binwidth = .5) +
  scale_y_continuous(breaks = c(1,2)) +
  theme_bw() +
  theme(axis.text = element_text(size = 15),
        axis.title = element_text(size = 20, face = "bold"))

Streuungsmaße

  • beschreiben die Streuung von Datenpunkten
    • sagen uns etwas darüber, wie die Daten insgesamt verteilt sind

Bereich

  • kann sich auf den höchsten (Maximum) und den niedrigsten (Minimum) Wert beziehen
    • oder die Differenz zwischen höchstem und niedrigstem Wert
  • max() und min(): gibt den höchsten und den niedrigsten Wert aus
max(heights)
[1] 190
min(heights)
[1] 163
  • oder die Funktion range() verwenden
range(heights)
[1] 163 190
  • Die Differenz zwischen diesen Werten erhält man, indem man den Minimalwert vom Maximalwert subtrahiert
max(heights) - min(heights)
[1] 27
  • In einem Histogramm oder Dichteplot: die niedrigsten und höchsten Werte auf der x-Achse

Standardabweichung (sd oder \(\sigma\))

  • ein Maß für die Streuung der Daten im Verhältnis zum Mittelwert
    • eine niedrige Standardabweichung bedeutet, dass die Daten um den Mittelwert herum gruppiert sind (d.h. es gibt eine geringere Streuung)
    • eine hohe Standardabweichung bedeutet, dass die Daten stärker gestreut sind
  • Die Standardabweichung wird sehr oft angegeben, wenn der Mittelwert angegeben wird.
  • Standardabweichung (sd) = die Quadratwurzel (\(\sqrt{}\) oder sqrt() in R) der Summe der quadrierten Wertabweichungen vom Mittelwert (\((x - \mu)^2\)) geteilt durch die Anzahl der Beobachtungen minus 1 (\(n-1\))
    • gegeben in Gleichung \(\ref{eq-sd}\)

\[\begin{align} \sigma & = \sqrt{\frac{(x_1-\mu)^2 + (x_2-\mu)^2 + ... + (x_N-\mu)^2}{N-1}} \label{eq-sd} \end{align}\]

  • das sieht einschüchternd aus, aber wir können die Standardabweichung in R mit der Funktion sd() berechnen
sd(heights)
[1] 10.46157
  • wir können die Standardabweichung von Hand berechnen, wenn wir wissen:
    • den Wert der einzelnen Beobachtungen
    • den Mittelwert dieser Werte
    • die Anzahl der Beobachtungen

\[\begin{align} \sigma_{heights} & = \sqrt{\frac{(height_1-\mu)^2 + (height_2-\mu)^2 + ... (heights_N-\mu)^2}{N-1}} \end{align}\]

  • In einem Vektor mit 3 Beobachtungen (3, 5, 9) sind unsere Werte (\(x\)) zum Beispiel folgende:
values <- c(3,5,16)
values
[1]  3  5 16
  • Wenn wir diese zu Gleichung \(\ref{eq-sd}\) hinzufügen, erhalten wir Gleichung \(\ref{eq-sd1}\)
\[\begin{align} \sigma_{values} & = \sqrt{\frac{(3-\mu)^2 + (5-\mu)^2 + (16-\mu)^2}{N-1}} \label{eq-sd1} \end{align}\]
  • unser Mittelwert (\(\mu\)) ist:
mean(values)
[1] 8
  • Wenn wir diese zu Gleichung \(\ref{eq-sd1}\) hinzufügen, erhalten wir Gleichung \(\ref{eq-sd2}\).
\[\begin{align} \sigma_{values} & = \sqrt{\frac{(3-8)^2 + (5-8)^2 + (16-8)^2}{N-1}} \label{eq-sd2} \end{align}\]
  • die Anzahl der Beobachtungen (\(n\)) ist:
length(values)
[1] 3
  • Wenn wir diese zu Gleichung \(\ref{eq-sd2}\) hinzufügen, erhalten wir Gleichung \(\ref{eq-sd3}\)
\[\begin{align} \sigma_{values} & = \sqrt{\frac{(3-8)^2 + (5-8)^2 + (16-8)^2}{3-1}} \label{eq-sd3} \end{align}\]
  • Wenn wir die restlichen Operationen durchführen, erhalten wir die Gleichungen \(\ref{eq-sd4}\) bis \(\ref{eq-sd}\):
\[\begin{align} \sigma_{values} & = \sqrt{\frac{(-5)^2 + (-3)^2 + (8)^2}{3-1}} \\ \label{eq-sd4} \\ & = \sqrt{\frac{25 + 9 + 64}{3-1}} \\ & = \sqrt{\frac{98}{2}} \\ & = \sqrt{49} \\ & = 7 \end{align}\]
  • unsere Arbeit überprüfen:
sd(values)
[1] 7

Deskriptive Statistiken mit R

  • das Paket dplyr aus dem tidyverse hat einige hilfreiche Funktionen, um zusammenfassende Statistiken zu erstellen
  • Lassen Sie uns nun den df_eng-Datensatz verwenden, um diese dplyr-Verben kennenzulernen

dplyr::summarise

  • Die Funktion summarise() (dplyr) berechnet Zusammenfassungen von Daten
    • aber wir müssen ihr sagen, was sie berechnen soll, und für welche Variable(n)
  • die Funktion n() zum Beispiel liefert die Anzahl der Beobachtungen (nur wenn sie innerhalb von summarise() oder mutate() verwendet wird)
df_eng |>
  summarise(N = n())
# A tibble: 1 × 1
      N
  <int>
1  4568
  • wir können auch mehrere Berechnungen auf einmal durchführen
    • Ermitteln wir auch den Mittelwert und die Standardabweichung der lexikalischen Entscheidungsaufgabe (rt_lexdec, in Millisekunden)
df_eng |>
  summarise(mean_lexdec = mean(rt_lexdec, na.rm=T),
            sd_lexdec = sd(rt_lexdec, na.rm = T),
            N = n()) 
# A tibble: 1 × 3
  mean_lexdec sd_lexdec     N
        <dbl>     <dbl> <int>
1        708.      115.  4568

Fehlende Werte

  • Berechnungen sind bei fehlenden Werten nicht möglich
    • die Variable rt_naming hat einen fehlenden Wert
    • die Funktion mean() funktioniert nicht mit fehlenden Werten
df_eng |>
  summarise(mean_naming = mean(rt_naming))
# A tibble: 1 × 1
  mean_naming
        <dbl>
1          NA
  • können wir sie mit dem Verb drop_na() entfernen
df_eng |>
  drop_na() |>
  summarise(mean_naming = mean(rt_naming))
# A tibble: 1 × 1
  mean_naming
        <dbl>
1        566.

Variablen gruppieren

  • Wir wollen normalerweise bestimmte Gruppen vergleichen.
      1. B. den Vergleich von “Groesse” zwischen L1-Sprechergruppen

.by =

  • das Argument .by = in summarise() berechnet unsere Berechnungen für Gruppen innerhalb einer kategorialen Variable
df_eng |>
  drop_na() |>
  summarise(mean_lexdec = mean(rt_lexdec),
            sd_lexdec = sd(rt_lexdec),
            N = n(),
            .by = age_subject) |>
  arrange(mean_lexdec)
# A tibble: 2 × 4
  age_subject mean_lexdec sd_lexdec     N
  <chr>             <dbl>     <dbl> <int>
1 young              630.      69.1  2283
2 old                787.      96.2  2284

Gruppieren nach mehreren Variablen

  • wir können auch nach mehreren Variablen gruppieren
    • dafür brauchen wir Verkettung (c())
df_eng |>
  drop_na() |>
  summarise(mean_lexdec = mean(rt_lexdec),
            sd_lexdec = sd(rt_lexdec),
            N = n(),
            .by = c(age_subject, word_category)) |>
  arrange(age_subject)
# A tibble: 4 × 5
  age_subject word_category mean_lexdec sd_lexdec     N
  <chr>       <chr>               <dbl>     <dbl> <int>
1 old         N                    790.     101.   1452
2 old         V                    780.      86.5   832
3 young       N                    633.      70.8  1451
4 young       V                    623.      65.7   832

Das Quartett von Anscombe

  • Francis Anscombe konstruierte 1973 4 Datensätze, um zu veranschaulichen, wie wichtig es ist, Daten zu visualisieren, bevor man sie analysiert und ein Modell erstellt
  • Diese vier Diagramme stellen 4 Datensätze dar, die alle einen nahezu identischen Mittelwert und eine Standardabweichung, aber sehr unterschiedliche Verteilungen aufweisen
Tabelle 1: Summary stats of Anscombe’s quratet datasets
dataset mean_x mean_y
Dataset 1 9 7.5
Dataset 2 9 7.5
Dataset 3 9 7.5
Dataset 4 9 7.5
Abbildung 1: Plots of Anscombe’s quratet distributions

DatasaurRus

  • datasauRus-Paket (Davies et al., 2022) enthält einige weitere Datensätze, die ähnliche Mittelwerte und Standardabweichung, aber unterschiedliche Verteilungen haben 
pacman::p_load("datasauRus")
Tabelle 2: Zusammenfassende Statistiken der datasauRus-Datensätze
dataset mean_x mean_y std_dev_x std_dev_y corr_x_y
away 54.27 47.83 16.77 26.94 -0.06
bullseye 54.27 47.83 16.77 26.94 -0.07
circle 54.27 47.84 16.76 26.93 -0.07
dino 54.26 47.83 16.77 26.94 -0.06
dots 54.26 47.84 16.77 26.93 -0.06
h_lines 54.26 47.83 16.77 26.94 -0.06
high_lines 54.27 47.84 16.77 26.94 -0.07
slant_down 54.27 47.84 16.77 26.94 -0.07
slant_up 54.27 47.83 16.77 26.94 -0.07
star 54.27 47.84 16.77 26.93 -0.06
v_lines 54.27 47.84 16.77 26.94 -0.07
wide_lines 54.27 47.83 16.77 26.94 -0.07
x_shape 54.26 47.84 16.77 26.93 -0.07
  • aber wenn wir sie aufzeichnen, sehen sie alle sehr unterschiedlich aus (Abbildung 2)!

Abbildung 2: Plots of datasauRus dataset distributions

  • Also, immer die Daten aufzeichnen
    • Schauen Sie sich nicht nur die deskriptiven Statistiken an!
  • Beides ist sehr wichtig für das Verständnis Ihrer Daten.
  • Nächste Woche sehen wir uns an, wie wir unsere zusammenfassenden Statistiken darstellen

Learning objectives 🏁

Heute haben wir gelernt…

  • über Maße der zentralen Tendenz ✅
  • über Streuungsmaße ✅
  • wie man die Funktion summarise() von dplyr benutzt ✅
  • wie man Zusammenfassungen .by Gruppe erstellt ✅

Hausufgaben

Anhang 7: Deskriptive Statistik auf der Website des Kurses.

Session Info

Erstellt mit R version 4.4.0 (2024-04-24) (Puppy Cup) und RStudioversion 2023.9.0.463 (Desert Sunflower).

sessionInfo()
R version 4.4.0 (2024-04-24)
Platform: aarch64-apple-darwin20
Running under: macOS Ventura 13.2.1

Matrix products: default
BLAS:   /Library/Frameworks/R.framework/Versions/4.4-arm64/Resources/lib/libRblas.0.dylib 
LAPACK: /Library/Frameworks/R.framework/Versions/4.4-arm64/Resources/lib/libRlapack.dylib;  LAPACK version 3.12.0

locale:
[1] en_US.UTF-8/en_US.UTF-8/en_US.UTF-8/C/en_US.UTF-8/en_US.UTF-8

time zone: Europe/Berlin
tzcode source: internal

attached base packages:
[1] stats     graphics  grDevices utils     datasets  methods   base     

other attached packages:
 [1] datasauRus_0.1.8 patchwork_1.2.0  janitor_2.2.0    here_1.0.1      
 [5] lubridate_1.9.3  forcats_1.0.0    stringr_1.5.1    dplyr_1.1.4     
 [9] purrr_1.0.2      readr_2.1.5      tidyr_1.3.1      tibble_3.2.1    
[13] ggplot2_3.5.1    tidyverse_2.0.0 

loaded via a namespace (and not attached):
 [1] utf8_1.2.4        generics_0.1.3    xml2_1.3.6        lattice_0.22-6   
 [5] stringi_1.8.3     hms_1.1.3         digest_0.6.35     magrittr_2.0.3   
 [9] evaluate_0.23     grid_4.4.0        timechange_0.3.0  fastmap_1.1.1    
[13] Matrix_1.7-0      rprojroot_2.0.4   jsonlite_1.8.8    mgcv_1.9-1       
[17] fansi_1.0.6       viridisLite_0.4.2 scales_1.3.0      cli_3.6.2        
[21] rlang_1.1.3       crayon_1.5.2      splines_4.4.0     bit64_4.0.5      
[25] munsell_0.5.1     withr_3.0.0       yaml_2.3.8        parallel_4.4.0   
[29] tools_4.4.0       tzdb_0.4.0        colorspace_2.1-0  pacman_0.5.1     
[33] kableExtra_1.4.0  vctrs_0.6.5       R6_2.5.1          lifecycle_1.0.4  
[37] snakecase_0.11.1  bit_4.0.5         vroom_1.6.5       pkgconfig_2.0.3  
[41] pillar_1.9.0      gtable_0.3.5      glue_1.7.0        systemfonts_1.0.6
[45] highr_0.10        xfun_0.43         tidyselect_1.2.1  rstudioapi_0.16.0
[49] knitr_1.46        farver_2.1.1      nlme_3.1-164      htmltools_0.5.8.1
[53] svglite_2.1.3     labeling_0.4.3    rmarkdown_2.26    compiler_4.4.0

Literaturverzeichnis

Davies, R., Locke, S., & D’Agostino McGowan, L. (2022). datasauRus: Datasets from the Datasaurus Dozen. https://CRAN.R-project.org/package=datasauRus
Wickham, H., Çetinkaya-Rundel, M., & Grolemund, G. (2023). R for Data Science (2. Aufl.).
Winter, B. (2019). Statistics for Linguists: An Introduction Using R. In Statistics for Linguists: An Introduction Using R. Routledge. https://doi.org/10.4324/9781315165547

Woche 8 - Deskriptive Statistik